Question

如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，CE=5，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿AB边以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.设动点P的运动时间是t秒.

（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．

Answer 1

（1）AE=20；（2）t=13或t=；（3）①t=②≤t≤20．

试题分析：(1)在直角三角形ADE中，已知AD=12,DE=16,根据勾股定理可求出AE的值；（2）分两种情况讨论：一、当∠DAE=∠PMB时，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等.即可求出t的值；二、当∠DAE=∠MPB时，由相似三角形的性质即可求出t的值.(3)①根据题意得出S_△EHP=S_△EMP，求出t的两个值，再根据t的取值范围即可求出t的值；②根据PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当点B′在线段AE上时，如图3所示，由勾股定理求得EB′=13,AB′=7,根据题意可证得△AB′N与△ADE相似，根据相似三角形对应边的比相等，可求出AN=5.6,NB′=4.2,则PN=t-5.6,PB′=21-t,再根据勾股定理可求出t的值为.当点C′在线段AE上时，如图4，则AC′=20-5=15,可证△AC′F与△ADE相似，可分别求出AF,C′F的值，在△PFB′中，利用勾股定理可求PF的值，从而求出AP的值，即求出t的值，所以有≤t≤20.
 
试题解析：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D=90°，∴AE²=AD²+DE²，∵AD=12，DE=16，∴AE=20；
（2）∵∠D=∠B=90°，∴△ADE与△PBM相似时，有两种可能；
当∠DAE=∠PMB时，有=，即=，解得：t=13；
当∠DAE=∠MPB时，有=，即=，解得t=；
（3）①由题意得：S_△EHP=S_△EMP，
∴××（20﹣t）=×12×（5+21﹣t）﹣×6×（21﹣t）﹣×6×5，
解得：t=，
∵0＜t＜21，
∴t=；
②根据题意得：≤t≤20．