Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB=1，则D到AC的距离为________．

Answer 1

分析：过点D作DE⊥AB于点E，根据三角形内角和等于180°求出∠B=60°，设DE=x，求出△AED是等腰直角三角形，从而得到AE=x，然后表示出BE，再根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解得到DE的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠BAC=90°，∠B=2∠C，
∴∠B+∠B+90°=180°，
解得∠B=60°，
∴∠BDE=90°-60°=30°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
设DE=x，则AE=x，
∵AB=1，
∴BE=1-x，
BD=2BE=2（1-x），
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，
即4（1-x）²=（1-x）²+x²，
整理得，2x²-6x+3=0，
解得x₁=，x₂=（舍去），
即DE=，
∵AD平分∠BAC，
∴D到AC的距离等于DE的长度，为．
故答案为：．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．