Question

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁的坐标．
（2）求直线BC与y轴的交点D的坐标．
（3）在x轴上有一个动点P，当|PA-PB|的值最大时，点P的坐标为（0，0）．

Answer 1

分析 （1）找出A、B、C三点的对称点，再连接即可；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，根据B、C两点坐标求出BC的解析式，再计算出与y轴的交点坐标即可；
（3）由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，|PA-PB|＜AB，又因为A（2，4），B（1，2）两点都在x轴同侧，则当A、B、P三点共线时，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．

解答 解：（1）如图所示：A₁的坐标（2，-4）；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵经过B（1，2），C（5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=k+b}\\{3=5k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$；
当x=0时，y=$\frac{7}{4}$，
∴与y轴的交点D的坐标（0，$\frac{7}{4}$）；

（3）当|PA-PB|的值最大时，点P在直线AB上；
设直线AB的解析式为y=mx+a，
∵经过A（2，4），B（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{2=k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x，
当y=0时，x=0，
∴P（0，0）．
故答案为：（0，0）．

点评 此题主要考查了三角形的三边关系定理，运用待定系数法求一次函数的解析式及x轴上点的坐标特征，以及作轴对称图形．根据三角形两边之差小于第三边得出当点P在直线AB上时，P点到A、B两点距离之差的绝对值最大，是解题的关键．