Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线的解析式．

(2)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)①点B的坐标为(1，0)；②y＝－x2－x＋2；(2)存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.

【解析】【试题分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴、y轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（3）证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；③当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

试题解析：

(1)①对于直线y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4，

∴C(0，2)，A(－4，0)，

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线x＝－对称，

∴点B的坐标为(1，0)；

②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，

∴可设抛物线解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，

又∵抛物线过点C(0，2)，

∴2＝－4a，

∴a＝－，

∴y＝－x2－x＋2　

(2)在Rt△AOC中，易知△ABC∽△ACO∽△CBO，

如图，①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC；

②根据抛物线的对称性，当M(－3，2)时，△MAN∽△ABC；

③当点M在第四象限时，设M(n，－ n2－n＋2)，则N(n，0)，

∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4，

当＝时，MN＝AN，即n2＋n－2＝ (n＋4)，

整理得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，

∴M(2，－3)；

当＝时，MN＝2AN，即n2＋n－2＝2(n＋4)，

整理得n2－n－20＝0解得n1＝－4(舍)，n2＝5，

∴M(5，－18)．

综上所述，存在点M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.