Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线过点；直线：与轴交于点，与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点；抛物线的顶点为．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）过点作于点，为垂足，求点的坐标．

（3）若为直线 上一动点，过点作轴的垂线与抛物线交于点．问：是否存在这样的点，使得点、、、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3）的横坐标为，，

【解析】（1）将点代入，得

，

∴                                                                      （1分）

∴抛物线解析式为：                                             （1分）

化为顶点式为                                                  （1分）

∴顶点的坐标为                                                          （1分）

（2）设点的坐标为．

∵，∴

又∵△∽△，

∴                                                                 （1分）

故

有，

∴

代入，得

，解得                                                    （1分）

∴点坐标为                                                         （1分）

（3）将代入，得，故点的坐标为                   （1分）

得，故只要即可                                      （1分）

由，得

，解之得，或（不合题意，舍去）；                  （1分）

有，得，

解之得                                                       （1分）

综上所述，满足题意的点的横坐标为，，．

（1）将A点坐标代入抛物线得出c的值，从而得出抛物线的解析式，然后根据抛物线图形得出顶点坐标；

（2）设点的坐标为，根据△∽△得出PB的长，然后根据列出方程，解出P点的坐标；

（3）先求出M点的坐标，然后利用DM=NE列出方程，然后求出结果。