题目内容

如图，△ABC中，∠B=30°，∠ACB=120°，D是BC上一点，∠ADC=45°，BD=8 $数学公式$ ，求DC的长．

解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，（1分）
∵∠B=30°，
∴tan30°= $\text{[math]}$ ．（1分）
设AE=x，则BE= $\text{[math]}$ x．（1分）
∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°，
∴tan60°= $\text{[math]}$ ，∴CE= $\text{[math]}$ x．（1分）
∵BD=8 $\text{[math]}$ ，∴DE=BE-BD= $\text{[math]}$ x-8 $\text{[math]}$ ．（1分）
∵∠ADC=45°，∴AE=DE．（1分）
∴（ $\text{[math]}$ -1）x=8 $\text{[math]}$ ，∴x=12+4 $\text{[math]}$ ．（1分）
∴CE= $\text{[math]}$ x=4 $\text{[math]}$ +4，∴BE= $\text{[math]}$ x=12 $\text{[math]}$ +12，
∴CD=BE-BD-CE=12 $\text{[math]}$ +12-8 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ -4=8．（3分）
分析：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求DC的长即可．
点评：本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．