Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

Answer 1

考点：二次函数综合题,等腰三角形的性质,平行四边形的性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化为顶点式即可求得顶点的坐标．
（2）先求得直线BC的解析式，设P（x，-x²+4x-3），则F（x，x-3），根据PF等于P点的纵坐标减去F点的纵坐标即可求得PF关于x的函数关系式，从而求得P的坐标和PF的最大值；
（3）在运动过程中，分三种情形，需要分类讨论，避免漏解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
∴

9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=-3

，
解得

a=-1 b=4 c=-3

，
∴抛物线的解析式：y=-x²+4x-3，
由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）存在；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，-x²+4x-3），则E（x，x-3），
∴PE=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=

3

2

时，PF有最大值为

9

4

．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为

9

4

．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；
直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①当0≤t≤

2

时，如答图1-1所示．
此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=

2

2

AA′=

2

2

t．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×

2

2

t=

2

t；
②当

2

＜t≤2

2

时，如答图1-2所示．
设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=S_{?PC′F′A′}-S_△A′DQ=2×1-

1

2

（t-

2

）²=-

1

2

t²+

2

t+1；
③当2

2

＜t≤3

2

时，如答图1-3所示．
设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3

2

，CC′=t，
∴BC′=3

2

-t．
∴S=S_△BC′Q=

1

2

（3

2

-t）²=

1

2

t²-3

2

t+9．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

2 t(0≤t≤ 2 ) - 1 2 t2+ 2 t+1( 2 ＜t≤2 2 ) 1 2 t2-3 2 t+9(2 2 ＜t≤3 2 )

．

点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、最值、平行四边形、等腰直角三角形、图形面积计算等知识点．第（2）问的解题要点是列出线段PE的表达式；第（3）问的解题要点是分类讨论的数学思想及图形面积的计算．