题目内容
如图△ABC中M为BC的中点，N为AM上一点，过N作直线PQ分别交线段AB、AC于P、Q．（1）当PQ∥BC时，求证：PN=NQ；
（2）当PQ与BC不平行时，
| PB |
| PA |
| QC |
| QA |
| MN |
| NA |
分析：（1）由平行，可证得，△APN∽△ABM，则
=
，同理
=
，从而得出PN=NQ；
（2）分别过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，根据平行线段分线段成比例可证
=
，
=
，再证NM为梯形BDEC的中位线，根据梯形的中位线原理可知BD+EC=2MN，从而得出结论．
| PN |
| BM |
| AN |
| AM |
| QN |
| CM |
| AN |
| AM |
（2）分别过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，根据平行线段分线段成比例可证
| PB |
| PA |
| BD |
| NA |
| QC |
| QA |
| EC |
| NA |
解答：
解：（1）∵PQ∥BC，∴△APN∽△ABM，
∴
=
，
同理
=
，
∵BM=CM，∴PN=NQ
（2）
+
=2
，
如图，过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，
∵BD∥AM，CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP，△CEQ∽△ANQ
∴
=
，
=
，
∵M为BC的中点，MN∥CE∥BD
∴NM为梯形BDEC的中位线，
∴BD+EC=2MN，
∴
+
=2
．
故答案为2．
解：（1）∵PQ∥BC，∴△APN∽△ABM，∴
| PN |
| BM |
| AN |
| AM |
同理
| QN |
| CM |
| AN |
| AM |
∵BM=CM，∴PN=NQ
（2）
| PB |
| PA |
| QC |
| QA |
| MN |
| NA |
如图，过B，C两点作AM的平行线交直线于D，F，
∵BD∥AM，CE∥AM
∴BD∥CE
∴△BDP∽△ANP，△CEQ∽△ANQ
∴
| PB |
| PA |
| BD |
| NA |
| QC |
| QA |
| EC |
| NA |
∵M为BC的中点，MN∥CE∥BD
∴NM为梯形BDEC的中位线，
∴BD+EC=2MN，
∴
| PB |
| PA |
| QC |
| QA |
| MN |
| NA |
故答案为2．
点评：本题主要考查相似三角形的判定，梯形的中位线原理，平行线平分线段成比例几个考点，熟练掌握上述定理并灵活运用是解答本题的关键．
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如图△ABC中M为BC的中点，N为AM上一点，过N作直线PQ分别交线段AB、AC于P、Q．
=______
．填空并证明．
=______
．填空并证明．
已知:如图, △ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC
=AP?AB;④AB?CP=AP?CB,能满足△APC和△ACB相似的条件是( ).