Question

16、在等腰△ABC中，AB=AC．
（1）若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC（或其延长线）于D，E，求证：2AB＜AD+AE．
（2）若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．

Answer 1

分析：（1）过B点作BF∥AC，交DE于F，利用旋转法证明△BFM≌△CEM，利用全等三角形对应角相等，对应边相等，得出∠BFM=∠C＜90°为锐角，从而得出∠BFD为钝角，在△BDF中，利用大角对大边，得出BF＜BD，再将有关线段进行转化，比较大小；
（2）利用旋转法作△ACP′≌△ABP，根据全等三角形对应角相等，对应边相等，将问题转化到△CPP′中，得出CP′=BP＜PC，再利用大边对大角，比较大小．

解答：证明：（1）如图，过B点作BF∥AC，交DE于F，
∵BM=MC，
∴△BFM≌△CEM，
∴BF=CE，∠BFM=∠C＜90°，
∴∠BFD=180°-∠BFM＞90°，
∴在△BDF中，BF＜BD，
∴2AB=AB+AC=AD-BD+AE+CE=AD+AE-（BD-BF）＜AD+AE．

（2）如图，在△ABC外作△ACP′，使AP′=AP，∠P′AC=∠PAB，连接PP′，
∵AB=AC，
∴△ACP′≌△ABP，
∴∠AP′C=∠APB，CP′=BP，
在△CPP′中，CP′=BP＜PC，
∴∠PP′C＞P′PC，
∴∠PP′C+∠AP′P＞P′PC+∠APP′，
即∠AP′C＞∠APC，
∴∠APB＞∠APC．

点评：本题考查了旋转法在证明几何问题中的作用．关键是根据旋转将条件集中到一个三角形中，利用三角形的性质证题．