Question

在直角坐标系xoy中，一次函数y=

3 2

2

x-3的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．

Answer 1

分析：先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．

解答：解：∵A、B是直线与y轴、x轴的交点，
令y=0，解得x=

2

，
∴B=(

2

，0)；
令x=0，解得y=-3，
∴A（0，-3）；
由勾股定理得，BC=

3

，AB=

11

，
（1）若D点在C点上方时，则∠BCD为钝角，
∵∠BCD=∠ABD，又∠CDB=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴

BD

AD

=

BC

AB

=

CD

BD

，
设D（0，y），则y＞1，
∵BD=

y2+2

，CD=y-1，
∴

y2+2

y+3

=

y-1

y2+2

=

3

11

，
∴8y²-22y+5=0，
解得y1=

5

2

或y2=

1

4

（舍去），
∴点D的坐标为（0，

5

2

），
（2）若D点在AC之间时，则∠BCD为锐角，
∵∠ABD=∠BCD，又∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，∴

BD

BC

=

AD

AB

=

AB

AC

，
设D（0，y），则-3＜y＜1，又BD=

y2+2

，AD=y+3，
∴

y2+1

3

=

y+3

11

，
整理得8y²-18y-5=0，
解得y1=-

1

4

或y2=

5

2

（舍去），
∴D点坐标为（0，-

1

4

）；
（3）若D点在A点下方时，有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD，
又显然∠BAC＜∠BCD，
∴D点在A点下方是不可能的．
综上所述，D点的坐标为（0，

5

2

）或（0，-

1

4

）．

点评：此题考查了一次函数的综合应用及坐标与图形的性质，综合性较强，解答本题容易出错的地方时遗漏点D的位置，难点在于每一种情况下求出点D的坐标，难度较大．