Question

4．（1）已知函数y=x+5的图象与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象的一个交点为A（a，b），则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$=$-\frac{5}{2}$．
（2）如果x满足x²-3x+1=0，试求代数式（x-$\frac{1}{x}}$）²的值．
（3）已知a=$\frac{1}{{2-\sqrt{5}}}$，b=$\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}$，求a+b+ab的值．

Answer 1

分析 （1）将点A（a，b）代入函数y=x+5和函数y=-$\frac{2}{x}$，求得ab=-2，b-a=5，即可得出$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值；
（2）将x²-3x+1=0两边都除以x，求得x+$\frac{1}{x}$=3，再根据（x-$\frac{1}{x}}$）²=（x+$\frac{1}{x}}$）²-4进行计算即可；
（3）将a和b进行分母有理化，再代入a+b+ab进行计算即可．

解答 解：（1）∵函数y=x+5的图象与反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象的一个交点为A（a，b），
∴b=a+5，ab=-2，
∴b-a=5，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$=$\frac{b-a}{ab}$=$\frac{5}{-2}$=$-\frac{5}{2}$；
故答案为：$-\frac{5}{2}$；

（2）∵x²-3x+1=0，x≠0
∴x-3+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=3，
∴（x-$\frac{1}{x}}$）²=（x+$\frac{1}{x}}$）²-4=3²-4=5；

（3）∵a=$\frac{1}{{2-\sqrt{5}}}$=-2-$\sqrt{5}$，
b=$\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}$=-2+$\sqrt{5}$，
∴a+b+ab
=-2-$\sqrt{5}$-2+$\sqrt{5}$+（-2-$\sqrt{5}$）（-2+$\sqrt{5}$）
=-4+（-1）
=-5．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式求值以及分母有理化的运用，解题时注意：函数图象上的点的坐标符合函数解析式．