Question

（2003•河南）如图，点D、C是以AB为直径的半圆上的两点，O为圆心，DE与AC相交于点E，OC∥AD，AB=5，cos∠CAB=0.8，求CE和DE的长．

Answer 1

分析：OC交BD于F点，连结BC，根据圆周角定理由AB为直径得∠D=90°，∠ACB=90°，在Rt△ABC中可解得AC=4，BC=3，由OC∥AD，则∠OFB=90°，即OF⊥DB，根据垂径定理得DC弧=BC弧，DF=BF，则∠CBD=∠CAB，再在Rt△CBF中，解直角三角形得BF=2.4，CF=1.8，在Rt△CEF中解得EC=

9

4

，EF=

27

20

，然后利用DE+EF=BF计算出DE．

解答：解：OC交BD于F点，连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠D=90°，∠ACB=90°，
∵cos∠CAB=

AC

AB

=0.8，AB=5，
∴AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵OC∥AD，
∴∠OFB=90°，即OF⊥DB，
∴DC弧=BC弧，DF=BF，
∴∠CBD=∠CAB，
在Rt△CBF中，cos∠CBF=0.8=

BF

BC

，则BF=2.4，
∴CF=

BC2-BF2

=1.8，
在Rt△CEF中，∠ECF=∠CAB，
∴cos∠ECF=0.8=

CF

EC

，
∴EC=

1.8

0.8

=

9

4

，
∴EF=

EC2-CF2

=

27

20

，
∵DE+EF=BF，
∴DE=2.4-

27

20

=1.05．

点评：本题考查了圆周角定理及其讨论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．也考查了垂径定理和勾股定理以及解直角三角形．