题目内容
20．（1）如图1，等腰Rt△ABO放在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别是A（0，1），B（1，0）．在x轴正半轴上取D（m，0），在AD右上方作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°．①求出E点的坐标（可用含m的代数式表示）；
②证明对于任意正数m，点E都在直线y=x-1上；
（2）将（1）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0）．Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠AED=60°．D（m，0）是x轴正半轴上任意一点，则不论m取何正数，点E都在某一条直线上，请求出这条直线的函数关系式；
（3）将（2）中Rt△AOB保持不动，取点C（2，$\sqrt{3}$），在x轴正半轴上取D（m，0）（m＞2），然后在AD右上方作Rt△CDE，∠CDE=90°，∠CED=60°．当m取不同值时，点E是否还是总在一条直线上？若是，请求出直线对应的函数关系式，若不是，请说明理由．
分析 （1）①过E作EH⊥x轴于H，可证明△AOD≌△DHE，可求得DH、EH、DO，可表示出E点坐标；②把E点坐标代入满足直线解析式，即可证得结论；
（2）过E作EH⊥x轴于H，可证明△AOD∽△DHE，利用相似三角形的性质可求得DH、EH，可得出E点坐标，则可得出过E点的直线的解析式；
（3）根据题意可将Rt△AOB右移两个单位，得Rt△CFG，把（2）的直线向右平移两个单位即可得到满足条件的直线．
解答 解：（1）①过E作EH⊥x轴于H，如图1，
在等腰Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDH，
在△AOD和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠EDH}\\{∠AOD=∠DHE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DHE（AAS），
∴DH=AO=1，EH=DO=m，
∴E（m+1，m）；
②证明：
当x=m+1时，y=x-1=m+1-1=m，
∴不论m取何值，E都在直线y=x-1上
（2）过E作EH⊥x轴于H，如图2，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAD=∠EDH，∠ADO=∠DEH，
∴△AOD∽△DHE，
∴DH：AO=EH：OD=DE：AD=1：$\sqrt{3}$，
∴DH=1，EH=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，
∴E（m+1，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$），$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（3）将Rt△AOB右移两个单位，得Rt△CFG，如图3，
根据（2）的解答，把（2）中的直线右移两个单位即可．
所以所求直线解析式为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$，
即当m取不同值时，点E总在一条直线上．
点评 本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、求函数解析式等．在（1）中作出垂直求得线段的长是解题的关键，在（2）中证明三角形相似求得线段的长是解题的关键，在（3）中利用好（2）的结论是解题的关键．本题知识点较多，难度较大，综合性较强．
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