Question

【题目】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角板的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；

（2）接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒4.5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当旋转到第 秒时，∠COM与∠CON互补．

Answer 1

【答案】（1）90°，OM平分∠CON；（2）∠AOM=∠CON，详见解析；（3）15或60.

【解析】

（1）由旋转得∠BOM=90°，求出∠COM=45°=∠MON即可得到OM平分∠CON.

（2）先求出∠AOC=45°,得到∠CON+∠AON=45°，再由∠MON=45°得到∠AOM+∠AON=45°，即可证得∠AOM=∠CON；

（3）分三种情况讨论：①当OM在∠BOC内部时，②当OM在∠BOC外部，ON在∠BOC内部时，③当ON在∠BOC外部时，分别求出时间t的值.

(1)由题意得，∠BOM=90°，∠MON=45°，

OM平分∠CON,理由如下：

∵∠BOC=135°，

∴∠COM=∠BOC-∠BOM=45°，

∴∠COM=∠MON

∴OM平分∠CON；

（2）∠AOM=∠CON，理由如下：

∵∠AOC=180°-∠BOC=45°,

∴∠CON+∠AON=45°,

∵∠MON=45°,

∴∠AOM+∠AON=45°,

∴∠AOM=∠CON；

（3）设运动t秒（0），

①当OM在∠BOC内部时，∠COM=，

∴2+45=180，

得t=15；

②当OM在∠BOC外部，ON在∠BOC内部时，

∠COM+∠CON=45°,不合题意，舍去；

③当ON在∠BOC外部时，∠CON=,

∴2=180，

得t=60，

∴当旋转到第15或60秒时，∠COM与∠CON互补