Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝+k均经过点A（1，0）．直线x＝m在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）．函数y＝ax2﹣4ax+3（x≥m）的图象记为G1，函数y＝+k（x≤m）的图象记为G2，图象G1与G2合起来得到的图形记为G．

（1）求a、k的值．

（2）当m＝时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围．

（3）当﹣2≤x≤时，图形G上最高点的纵坐标为2，求m的值．

（4）当直线y＝2m﹣1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，k＝﹣2；（2）x≤﹣1或≤x≤2；（3）m＝2﹣或m=﹣1+2；（4）﹣＜m≤1﹣，m＝0，3﹣≤m＜1+；

【解析】

（1）把A点坐标代入两个函数解析式中，便可求得待定系数a和k；

（2）根据情况，画出函数图象，结合函数图象求解；

（3）将m分两种情况画图讨论；

（4）第四问需要画图找到四个临界点，结合图象解题．

解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝+k图象G1与均经过点A（1，0）

∴a﹣4a+3＝0，×22+k＝0，

解得a＝1，k＝﹣2；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴图象G1与的对称轴为直线x＝2，

∵y＝﹣2，∴图象G2与的对称轴为直线x＝﹣1，

∴当m＝时，图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围是x≤﹣1或≤x≤2；

（3）当﹣1＜m＜1时，m2﹣4m+3＝2 （如图1）

解得m1＝2﹣，m2＝2+＞1（舍去）

当1＜m＜2时，（m+1）2﹣2＝2 （如图2）

解得m1＝﹣1+2，m2＝﹣1﹣2＜1（舍去）

（4）当直线y＝2m﹣1与y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交时，

2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，

∴m＝3+，m＝3﹣；

当直线y＝2m﹣1与y＝﹣2，x＝m相交时，

2m﹣1＝﹣2

∴m＝1+，m＝1﹣，

当y＝2m﹣1＝﹣2时，m＝﹣，

当y＝2m﹣1＝﹣1时，m＝0，

∴﹣＜m≤1﹣，m＝0，3﹣≤m＜1+；