Question

已知一元二次方程2x²-5x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大正整数，且一元二次方程2x²-5x+k=0与x²+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-5）²-4×2×k＞0，然后解不等式即可；
（2）先确定最大正整数k的值为3，再解2x²-5x+3=0得到得x₁=

3

2

，x₂=1，然后分别把x的值代入x²+mx-1=0可求出对应的m．

解答：解：（1）根据题意得△=（-5）²-4×2×k＞0，
解得k＜

25

8

；

（2）∵k＜

25

8

，
∴最大正整数k为3，
由方程2x²-5x+3=0变形得（2x-3）（x-1）=0，解得x₁=

3

2

，x₂=1，
当一个相同的根为

3

2

时，把x=

3

2

代入x²+mx-1=0得

9

4

+

3

2

m-1=0，解得m=-

5

6

，
当一个相同的根为1时，把x=1代入x²+mx-1=0得1+m-1=0，解得m=0，
∴m的值为0或-

5

6

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．