Question

如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．

（1）点D是△ABC的________心；

（2）求证：四边形DECF为菱形．

Answer 1

(1) 内.

(2) 证法一：连接CD，

∵ DE∥AC，DF∥BC，

∴ 四边形DECF为平行四边形，

又∵ 点D是△ABC的内心，

∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，

又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC

∴ FC＝FD，

∴ □DECF为菱形．

证法二：

过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．

∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，

∴DI=DG，

DG=DH．

∴DH=DI．

∵DE∥AC，DF∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形，

∴S_□DECF=CE?DH =CF?DI，

∴CE=CF．

∴□DECF为菱形．