Question

如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴正半轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=

1

2x

的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）分别计算AF与BE的值（结果用含a、b的代数式表示）；
（4）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图示知，点F的纵坐标是b，横坐标是OB-ON=1-a；点E的纵坐标是OA-AM=1-a，横坐标是a；
（2）利用割补法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根据相似三角形的判定定理SAS证明△AOF∽△BOE．

解答：解：（1）点E（a，1-a），点F（1-b，b）；（2分）

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；（4分）

（3）BE=

a2+(1-1+a)2

=

2

a，
AF=

(1-1+b)2+b2

=

2

b；（6分）

（4）△AOF∽△BEO，（7分）
证明：∵OA=OB=1，
∴∠FAO=∠EBO；
∵点P（a，b）是曲线y=

1

2x

上一点，
∴2ab=1，即AF•BE=1；
又∵OA•OB=1，
∴

AF

OB

=

OA

BE

；
∴△AOF∽△BEO．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合题、相似三角形的判定及勾股定理．解答（4）题时，利用反比例函数图象上的点的特点，图象上所有的点都满足函数解析式．