Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD．
（2）若BE=3，CD=8，求⊙O的直径．

Answer 1

证明：（1）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED，
∴BCD=BAC.
∵OA=OC, 
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD.
（2） ∵CD=8，
∴CE=ED=4，
在RtBCE中，.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BEC=90°.
∵∠B=∠B，
∴△CBE∽△ABC．
∴．
∴
答：⊙O的直径为．

解析试题分析：（1）根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出∠BCD=∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案；（2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证出△BCE和△BCA相似，即可得出比例式，代入计算即可求出答案．
考点：垂径定理；勾股定理；等腰三角形性质；相似三角形的性质和判定.
点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，解答本题的关键是培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．