Question

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过点A，D（3，-2）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式并判断点C是否在抛物线上；
（3）设点P在（2）中的抛物线上，且点P关于直线AC的对称点在x轴上，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据A、B两点的坐标求出AB的长，再根据勾股定理得出OC的长，故可得出C点坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）由于抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，所以b=0．再由抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，1），D（3，-2），两点可得出抛物线的解析式，把C点横坐标代入即可检验出C点是否在抛物线上；
（3）先根据锐角三角函数的定义求出∠ACO及∠BCO的度数，故可得出CA是∠BCO的角平分线，即直线BC与x轴关于直线AC对称．因为点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-

1

3

x²+1的交点，设出点P的坐标代入抛物线的解析式即可得出结论．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+3；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，
∴b=0．
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，1），D（3，-2），两点．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴抛物线的解析式是y=-

1

3

x²+1．
∵C（

3

，0），
∴当x=

3

时，y=0，
∴点C在抛物线上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=

3

，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-

1

3

x²+1的交点．
Q点P在直线BC：y=-

3

x+3上，
故设点P的坐标是（x，-

3

x+3）．
又∵点P（x，-

3

x+3）在抛物线y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

+3=-

1

3

x²+1．解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的点P的坐标是P₁（

3

，0），P₂（

3

，-3）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．