Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）求证：F为CE的中点；

（3）若⊙O的半径为3，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接AD，OD，先根据圆周角定理得出，再由三线合一得出D是BC的中点，再证得，最后证得DF⊥OD即可；

（2）先根据圆内接四边形的性质得出，再根据等腰三角形的性质和等量代换求得，再根据三线合一即可证明F为CE的中点；

（3）首先求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质得出的度数，再得出，最后根据阴影部分的面积=扇形AOE的面积－的面积求解即可.

（1）连接AD，OD，如图1所示：

∵AB是直径

∴

∴

∵AB＝AC

∴D是BC的中点

∵O是AB的中点

∴OD是中位线

∴

∵DF⊥AC

∴DF⊥OD

∴DF为⊙O的切线；

（2）连接DE，如图2所示：

∵四边形ABDE是圆的内接四边形

∴

∵AB＝AC

∴

∴

∵DF⊥AC

∴F为CE的中点；

（3）连接DE、OE、BE，如图3所示：

由（2）中可知DF为的角平分线，

∵，

∴，

∴，

∵AB是直径，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴.