题目内容

如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，AB=BC，点E为AB中点，BD⊥CE，垂足为M．
（1）求证：CM=4EM；
（2）连AM交BC于G点，求 $数学公式$ 的值；
（3）求 $数学公式$ ．

（1）证明：在△BME与△CMB中，
$\text{[math]}$ ，
∴△BME∽△CMB，
∴EM：BM=BM：CM=EB：BC，
∵AB=BC=2EB，
∴CM=2BM，BM=2EM，
∴CM=4EM；

（2）解：过点M作MN⊥AB，垂足为N，则MN∥BC，
∴BN：EN=CM：EM=4，
∴BN=4EN，BE=BN+EN=5EN=AE，AN=AE+EN=6EN，
∴AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；

（3）解：设S_△ADM=k．
∵AD∥BC，
∴△ADM∽△GBM，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∴S_△GBM= $\text{[math]}$ k．
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABG= $\text{[math]}$ S_△GBM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ k= $\text{[math]}$ k．

∴S_△AEM=S_△BEM= $\text{[math]}$ （S_△ABG-S_△GBM）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ k- $\text{[math]}$ k）= $\text{[math]}$ k，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，
∴S_△BCE=S_△BEM= $\text{[math]}$ k，
∴S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG= $\text{[math]}$ k+ $\text{[math]}$ k- $\text{[math]}$ k= $\text{[math]}$ k，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先由两角对应相等的两三角形相似得出△BME∽△CMB，根据相似三角形对应边成比例得到EM：BM=BM：CM=EB：BC，再结合已知条件AB=BC=2EB，即可证明CM=4EM；
（2）过点M作MN⊥AB，垂足为N，则MN∥BC，由平行线分线段成比例定理得出BN：EN=CM：EM=4，即BN=4EN，同理得出AM：MG=AN：NB=6EN：4EN=3：2；
（3）设S_△ADM=k，先由△ADM∽△GBM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出S_△GBM= $\text{[math]}$ k，再由等底的两个三角形面积之比等于高之比得出S_△ABG= $\text{[math]}$ S_△GBM= $\text{[math]}$ k，由点E为AB中点，得出S_△AEM=S_△BEM= $\text{[math]}$ （S_△ABG-S_△GBM）= $\text{[math]}$ k，又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，得出S_△BCE=S_△BEM= $\text{[math]}$ k，然后根据S_△CMG=S_△AEM+S_△BCE-S_△ABG，求出S_△CMG= $\text{[math]}$ k，进而得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，有一定难度．（3）中设S_△ADM=k，然后利用相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理及三角形的面积公式，用含k的代数式分别表示出S_△AEM、S_△BCE、S_△ABG是解题的关键．