Question

如图，A（2，1）是矩形OCBD的对角线OB上的一点，点E在BC上，双曲线y=

k

x

经过点A，交BC于点E，交BD于点F，若CE=

2

3

（1）求双曲线的解析式；
（2）求点F的坐标；
（3）连接EF、DC，直线EF与直线DC是否一定平行？（只答“一定”或“不一定”）

Answer 1

分析：（1）把A（2，1）代入双曲线y=

k

x

即可求出k的值，进而求出其解析式；
（2）设直线OB的解析式为y=ax，再把A点的坐标代入即可求出直线OB的解析式，由CE=

2

3

可设出E点的坐标，代入双曲线的解析式即可求出E点的坐标；再把E点的横坐标代入直线OB的解析式即可求出F点的坐标；
（3）连接EF、CD，由B、E、F的坐标可求出C、D两点的坐标，利用两点间的距离公式可求出BF、BD、BE、BC的长度，根据

BF

BD

=

BE

BC

即可得出EF∥CD．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

经过点A（2，1），
∴1=

k

2

，
∴k=2，
∴双曲线的解析式为y=

2

x

；

（2）设直线OB的解析式为y=ax，
∵直线y=ax经过点A（2，1），
∴a=

1

2

，
∴直线的解析式为y=

1

2

x，
∵CE=

2

3

，代入双曲线解析式得到点E的坐标为（3，

2

3

），
∴点B的横坐标为3，
代入直线解析式，得到点B的坐标为（3，

3

2

），
∴点F的纵坐标为

3

2

，
代入双曲线的解析式，得到点F的坐标为（

4

3

，

3

2

）；

（3）连接EF、CD，
∵B的坐标为（3，

3

2

），E的坐标为（3，

2

3

），F的坐标为（

4

3

，

3

2

）；
∴C点坐标为（3，0），D点坐标为（0，

3

2

），
∴BF=

(3- 4 3 )2

=

5

3

，BD=

32

=3，BE=

( 3 2 - 2 3 )2

=

5

6

，BC=

( 3 2 )2

=

3

2

，
∴

BF

BD

=

5 3

3

=

5

9

，

BE

BC

=

5 6

3 2

=

5

9

，

BF

BD

=

BE

BC

，
∴EF∥CD．
一定．

点评：本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，先用待定系数法求出反比例函数及一次函数的解析式是解答此题的关键．