Question

已知： 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax²−bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．

1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

2.（2）求代数式的值；

3.（3）求证： 关于x的一元二次方程ax²−bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

 

 

Answer 1

 

1.解：（1）解：由 kx=x+2，得（k-1） x=2．

依题意 k-1≠0．∴ ．      ……………………………………1分

∵ 方程的根为正整数，k为整数， ∴ k-1=1或k-1=2．

∴ k₁= 2， k₂=3．        …………………………………………………2分

 

2.（2）解：依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），

       ∴ 0 =a-b+kc，  kc = b-a ．

∴ = …3分

3.（3）证明：方程②的判别式为 Δ=（-b）²-4ac= b²-4ac．   由a≠0， c≠0， 得ac≠0．

证法一：

（ i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b²-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．……4分

（ ii ）若ac>0， 由（2）知a-b+kc =0， 故 b=a+kc．

Δ=b²-4ac= （a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac = a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac

=（a-kc）²+4ac（k-1）．     …………………………………………………5分

∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程（k-1） x=2的根为正实数．

由 x>0，2>0， 得 k-1>0．              …………………………………6分

∴ 4ac（k-1）>0．   ∵ （a-kc）²³0，

∴Δ=（a-kc）²+4ac（k-1）>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．  …………7分

证法二：

（ i ）若ac<0， 则-4ac>0． 故Δ=b²-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根． ……4分

（ ii ）若ac>0，∵ 抛物线y=ax²-bx+kc与x轴有交点，

∴ Δ₁=（-b）²-4akc =b²-4akc³0． 

（b²-4ac）-（ b²-4akc）=4ac（k-1）．     由证法一知 k-1>0，

∴ b²-4ac> b²-4akc³0．

∴ Δ= b²-4ac>0． 此时方程②有两个不相等的实数根．   …………………7分

综上， 方程②有两个不相等的实数根．

证法三：由已知，，∴

       可以证明和不能同时为0（否则），而，因此．

 

解析:略