Question

如图，在?ABCD中
（1）若AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．那么AE与CF相等吗？试说明理由．
（2）若（1）中E、F不是垂足，而是BD边上的任意的两点，那么（1）的结论还成立吗？
如果不成立你认为要添加怎样的条件才能成立？（写出一种情况即可）
（3）如果点E为DB延长线上的一点，F为BD边延长线上的一点，用（2）中你所添加的条件还能得到（1）的结论吗？请画出图形并加以说明．

Answer 1

分析：（1）只需转化证△ABE≌△CDF即可，可以选择用AAS进行证明，然后可以利用全等三角形的性质得出结论．
（2）可以选择添加的条件很多，可以添加DF=BE、∠BAE=∠DCF、∠AEB=∠CFD．
（3）添加条件后可直接运用SAS进行∴△ABE₁≌△CDF₁的判定，继而可得出结论．

解答：解：（1）在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF ∠AEB=∠CFD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDE，即可得AE=CF．

（2）不成立．
添加条件，BE=DF．
在△ABE和△CDF中，

BE=DF ∠ABE=∠CDF AB=CD

，
∴△ABE≌△CDE，即可得AE=CF．

（3）能得到（1）的结论．
在△ABE₁和△CDF₁中，

AB=CD ∠ABE1=∠CDF1 BE1=DF1

，
∴△ABE₁≌△CDF₁，
∴AE₁=CF₁．

点评：本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，也考查了全等三角形的判定及性质，注意掌握全等三角形的几种判定定理，及全等三角形的对应边．对应角分别相等．