Question

关于的方程2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0有三个实数根分别为α、β、x₀，其中根x₀与m无关．
（1）如（α+β）x₀=-3，求实数m的值．
（2）如α＜a＜b＜β，试比较：

4a-m

a2+1

与

4b-m

b2+1

的大小，并说明你的理由．

Answer 1

（1）由2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0得（x+1）（2x²-mx-2）=0，∴x₀=-1，（2分）
α、β是方程2x²-mx-2=0的根∴α+β=

m

2

，
∵（α+β）x₀=-3，所以m=6（4分）

（2）设T=

4b-m

b2+1

-

4a-m

a2+1

=

(b-a)

(a2+1)(b2+1)

(4-4ab+ma+mb)（5分）
∵a＜b，∴b-a＞0，又a²+1＞0，b²+1＞0，∴

(b-a)

(a2+1)(b2+1)

＞0（6分）
设f（x）=2x²mx-2，所以α、β是f（x）=2x²mx-2与x轴的两个交点，
∵α＜a＜b＜β
∴

f(a)＜0 f(b)＜0

，即

2a2-ma-2＜0 2b2-mb-2＜0

∴ma+mb＞2a²+2b²-4（8分）
∴4-4ab+ma+mb＞2（a-b）²＞0（9分）
∴T＞0，即

4b-m

b2+1

＞

4a-m

a2+1

（10分）