Question

关于的方程2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0有三个实数根分别为α、β、x，其中根x与m无关．
（1）如（α+β）x=-3，求实数m的值．
（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据根与系数的关系，根据则x₁+x₂=-，x₁•x₂=代入数值计算．
（2）两式相减求得代数式，设f（x）=2x²mx-2，代入α、β的大小关系，根据其大小关系进行判断．
解答：解：（1）由2x³+（2-m）x²-（m+2）x-2=0得（x+1）（2x²-mx-2）=0，∴x=-1，（2分）
α、β是方程2x²-mx-2=0的根∴，
∵（α+β）x=-3，所以m=6（4分）

（2）设T=-=（5分）
∵a＜b，∴b-a＞0，又a²+1＞0，b²+1＞0，∴＞0（6分）
设f（x）=2x²mx-2，所以α、β是f（x）=2x²mx-2与x轴的两个交点，
∵α＜a＜b＜β
∴，即
∴ma+mb＞2a²+2b²-4（8分）
∴4-4ab+ma+mb＞2（a-b）²＞0（9分）
∴T＞0，即＞（10分）
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．