Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点、，将沿轴翻折得到，已知抛物线过点、，与轴交于点．

（1）抛物线顶点的坐标为_______；

（2）如图2，沿轴向右以每秒个单位长度的速度平移得到，运动时间为秒．当时，求与重叠面积与的函数关系式；

（3）如图3，将绕点顺时针旋转得到，线段与抛物线对称轴交于点．在旋转一圈过程中，是否存在点，使得？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，（，）或（，）

【解析】

（1）由轴对称可得点B、C坐标，可求得抛物线解析式，进而得到抛物线顶点坐标；

（2）根据题意构造相似三角形，用t表示对于线段，再用割补法表示与重叠面积即可；

（3）由题意可知，点P为线段MN中点，由抛物线性质，求得P点坐标，设出M（m，n）坐标，再由三角形相似可得N点坐标，用中点坐标公式可表示P点坐标，构造方程可求m，n，则问题可解.

解：（1）由已知，点C坐标为（-1,0）

把（-1,0），（0，-4）代入，得

解得，

∴

则对称轴为直线

顶点纵坐标为：

∴ 顶点坐标为

故答案为：

（2）连BG，设BD交GE于点K，BD交FG于 T，过K做HK⊥FG于H

由（1）可知，点D坐标为（4,0）

则

由已知，，

∵GB∥OD

∴

则有，则，

得：

，

（3）（，）或（，）

如图，当M在第四象限时，根据题意可知：当点是中点时，

∴MN=BC=

则，

P到x轴距离为：

可得：

分别过点M、N作MF⊥y轴于点F，NE⊥y轴于点E

0

∵

∴

∵

∴

∴设，则，

∴点P坐标为（， ）

∴

解得

∴M坐标为（，）

当点M在第三象限时，同理，设，则

∴点P坐标为（， ）

同理点

∴

解得

∴M坐标为（，）

故答案为（，）或（，）