Question

如图，已知抛物线y=-

1

2

x2+(5-

m2

)x+m-3与x轴有两个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB．
（1）求m的值；
（2）求抛物线的表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；
（3）问抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB，结合图象得出m-3＞0，5-

m2

=0，即可得出答案；
（2）利用（1）中m的值得出二次函数解析式，即可得出顶点坐标；
（3）根据A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），得出△OAC是等腰直角三角形，假设存在一点M，使△MAC≌△OAC，进而得出M点的坐标，进而得出答案．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB
∴

m-3＞0 5- m2 =0

，
解得m=5（2分）；

（2）抛物线的表达式为y=-

1

2

x2+2（3分），
对称轴是y轴，顶点C的坐标是（0，2）（5分）；

（3）令y=0，得-

1

2

x2+2=0，
解得：x=±2，
故A、B两点的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），
则△OAC是等腰直角三角形．（6分）
假设存在一点M，使△MAC≌△OAC．
∵AC为公共边，OA=OC，
∴点M与点O关于直线AC对称．（8分）
则四边形OAMC是正方形，
∴M点的坐标为（2，2）（9分），
当x=2时，y=-

1

2

×22+2=0≠2，
∴点M（2，2）不在抛物线上，
即不存在点M，使△MAC≌△OAC．（11分）

点评：此题主要考查了二次函数图象的性质以及顶点坐标的求法和等腰直角三角形的性质等知识，利用数形结合解决问题是这部分考查的重点，同学们应重点掌握．