题目内容
（2005•常州）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（
，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．
【答案】分析：（1）易证CD是⊙O的切线，根据Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的长，再求出D1的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式；
（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2+DG2=（BO-OG）2+OD2-OG2，所以S=AB2=
BD2=7+
x，因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．
解答：
解：（1）CD与⊙O相切．
∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图1），
设正方形ABCD的边长为a，则a2+（a+1）2=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
过点D作DE⊥OB于E，
则Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴
，
∴DE=
，OE=
，
∴点D1的坐标是（-
，
），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=
；
②切点在第四象限时（如图2），
设正方形ABCD的边长为b，则b2+（b-1）2=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴
，
∴OF=
，DF=
，
∴点D2的坐标是（
，-
），
∴OD所在直线对应的函数表达式为y=
；
（2）如图3，
过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，
则BD2=BG2+DG2=（BO-OG）2+OD2-OG2=（-
-x）2+1-x2=14+2
x，
∴S=AB2=
BD2=7+
x，
∵-1≤x≤1，
∴S的最大值为7+
，S的最小值为7-
．
点评：最值问题的解决方法，一般是转化为函数问题，转化为求函数的最值．
（2）过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2+DG2=（BO-OG）2+OD2-OG2，所以S=AB2=
BD2=7+
x，因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．解答：
解：（1）CD与⊙O相切．∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线．
CD与⊙O相切时，有两种情况：
①切点在第二象限时（如图1），
设正方形ABCD的边长为a，则a2+（a+1）2=13，
解得a=2，或a=-3（舍去），
过点D作DE⊥OB于E，
则Rt△ODE∽Rt△OBA，
∴
，∴DE=
，OE=
，∴点D1的坐标是（-
，
），∴OD所在直线对应的函数表达式为y=
；
②切点在第四象限时（如图2），
设正方形ABCD的边长为b，则b2+（b-1）2=13，
解得b=-2（舍去），或b=3，
过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，
∴
，∴OF=
，DF=
，∴点D2的坐标是（
，-
），∴OD所在直线对应的函数表达式为y=
；
（2）如图3，
过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，
则BD2=BG2+DG2=（BO-OG）2+OD2-OG2=（-
-x）2+1-x2=14+2
x，∴S=AB2=
BD2=7+
x，∵-1≤x≤1，
∴S的最大值为7+
，S的最小值为7-
．点评：最值问题的解决方法，一般是转化为函数问题，转化为求函数的最值．
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，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动．
