题目内容
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的
？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．
【答案】分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过原点，可得其表达式可以写成y=ax2+bx，又由直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，利用待定系数法即可求得直线的表达式与点B与C的坐标，继而求得抛物线的表达式；
（2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得AC=CD=OC=
AD，即可得C点是△AOD的外心；
（3）通过分析可得P为顶点时，S△OPN面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得sinα的值；
（4）首先过点P作PE⊥x轴于N点，设点P的坐标为（x，-2x2+5x），即可表示出△PON的面积，然后求得△OCN的面积，由△PON的面积等于△OCN面积的
，即可得方程，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax2+bx．
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，得：
，
解得：
，
∴直线是：y=-x+4，
点B（1，3），C（2，2）代入二次函数的表达式，得：
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为：y=-2x2+5x．
（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=
=4
．而OC=2
，
∴OC=
AD．
∴C是Rt△AOD的外心．
（3）通过分析知道，P为顶点时，S△OPN面积最大．
此时，P（
，
），
又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0，x2=
，即ON=
．
∴OP=
．
∴sinα=
，此时△PON有最大面积（底是相同的）．
（4）存在．
理由：过点P作PE⊥x轴于N点，
设点P的坐标为（x，-2x2+5x），
∴S△OCN=
ON•PD=
×
×（-2x2+5x）=
（-2x2+5x），
∵S△OCN=ON×2×
=ON=
，
又∵△PON的面积等于△OCN面积的
，
∴
（-2x2+5x）=
×
，
解得：x1=
，x2=
，
∴当x=
时，y=
，
当x=
时，y=
，
∴点P的坐标为（
，
）或（
，
）．
点评：此题考查了一次函数与二次函数的综合应用．此题综合性很强，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，掌握点与函数的关系，圆的外心的定义，三角函数以及三角形面积的求解方法等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用．
（2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得AC=CD=OC=
AD，即可得C点是△AOD的外心；（3）通过分析可得P为顶点时，S△OPN面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得sinα的值；
（4）首先过点P作PE⊥x轴于N点，设点P的坐标为（x，-2x2+5x），即可表示出△PON的面积，然后求得△OCN的面积，由△PON的面积等于△OCN面积的
，即可得方程，解此方程即可求得答案．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax2+bx．
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，得：
，解得：
，∴直线是：y=-x+4，
点B（1，3），C（2，2）代入二次函数的表达式，得：
，解得：
，∴抛物线的表达式为：y=-2x2+5x．
（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD=
=4．而OC=2，∴OC=
AD．∴C是Rt△AOD的外心．
（3）通过分析知道，P为顶点时，S△OPN面积最大．
此时，P（
，），又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0，x2=
，即ON=．∴OP=
．∴sinα=
，此时△PON有最大面积（底是相同的）．（4）存在．
理由：过点P作PE⊥x轴于N点，
设点P的坐标为（x，-2x2+5x），
∴S△OCN=
ON•PD=××（-2x2+5x）=（-2x2+5x），∵S△OCN=ON×2×
=ON=，又∵△PON的面积等于△OCN面积的
，∴
（-2x2+5x）=×，解得：x1=
，x2=，∴当x=
时，y=，当x=
时，y=，∴点P的坐标为（
，）或（，）．点评：此题考查了一次函数与二次函数的综合应用．此题综合性很强，解题的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，掌握点与函数的关系，圆的外心的定义，三角函数以及三角形面积的求解方法等知识．注意数形结合思想与方程思想的应用．
练习册系列答案
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C（0，3）．
、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
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