Question

2．如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于点D，已知AB=10，AD=2，则AC的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 作∠A的平分线，利用角平分线的性质可知：AF=AD，DE=EF，利用相似三角形的性质可知：CD=4ED，设EF=a，利用相似三角形的性质求出a的值．

解答 解：作∠A的平分线交CD于点E，过点E作EF⊥AC于点F，
∴∠BAC=2∠DAE，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADE∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{CD}$，
∴CD=4ED，
∵AE平分∠DAC，
ED⊥AB，EF⊥AC，
∴AD=AF=2，DE=EF，
设DE=a，
∴CD=4a，EF=a，
∴CE=3a，
∴由勾股定理可求得：CF=2$\sqrt{2}$a，
∵△CEF∽△CAD，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AD}$，
∴$\frac{3a}{2\sqrt{2}a+2}=\frac{a}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴CF=4，
∴AC=6，
故选（B）

点评 本题考查角平分线的性质，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高．