Question

12．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=75°，点D是AB的中点．将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，连接A′B．
（1）求证：CD∥A′B；
（2）若AB=4，求A′B²的值．

Answer 1

分析 （1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知CD=AD，然后依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ADC=30°，由翻折的性质可知∠CDA′=30°，从而可求得∠A′DB的度数，然后依据DA′=DB可求得∠DBA′=30°，从而可证明CD∥A′B；
（2）连结AA′，先证明△ADA′为等边三角形，从而可得到∠AA′D=60°，然后可求得∠AA′B=90°，最后依据勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，点D是AB的中点
∴AD=BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．
∴∠ACD=∠A=75°．
∴∠ADC=30°．
∵△A′CD由△ACD沿CD翻折得到，
∴△A′CD≌△ACD．
∴AD=AD，∠A′DC=∠ADC=30°．
∴AD=A′D=DB，∠ADA′=60°．
∴∠A′DB=120°．
∴∠DBA′=∠DA′B=30°．
∴∠ADC=∠DBA'．
∴CD∥A′B．
（2）连接AA′

∵AD=A′D，∠ADA′=60°，
∴△ADA′是等边三角形．
∴AA′=AD=$\frac{1}{2}$AB，∠DAA′=60°．
∴∠AA′B=180°-∠A′AB-∠ABA′=90°．
∵AB=4，
∴AA′=2．
∴由勾股定理得：A′B²=AB²-AA′²=4²-2²=12．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．