Question

（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a²+b²=c²．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a²+b²与c²的关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD不变由勾股定理得出等式b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
，化简得出a²+b²＞c²．当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，根据勾股定理，得（b+x）²+a²-x²=c²．化简得出a²+b²＜c²．
解答：解：若△ABC是锐角三角形，则有a²+b²＞c²（1分）
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a²+b²＜c²．（2分）
当△ABC是锐角三角形时，
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a-x（3分）
根据勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²．（6分）
当△ABC是钝角三角形时，
证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为y，则有BD²=a²-y²（7分）
根据勾股定理，得（b+y）²+a²-y²=c²．
即a²+b²+2by=c²．（9分）
∵b＞0，y＞0，
∴2by＞0，
∴a²+b²＜c²．（10分）
点评：本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．