Question

9．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点．
（1）如图（1），若点M、N分别是线段AB、AC的中点．求证：DM=DN；
（2）如图（2），若点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）只要证明△AND≌△BMD即可．
（2）结论：△DMN是等腰直角三角形．只要证明△AND≌△BMD，推出DN=DM，∠ADN=∠BDM，由∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，推出∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°．

解答 证明：（1）如图中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
∵D是斜边BC上的中点
∴AD=BD=$\frac{1}{2}BC$，
又∵AB=AC，AD是底边BC上的中线
∴AD也是∠BAC的平分线，即∠DAN=∠DAB=45°，
∴∠B=∠NAD，
∵AC=AB，M，N分别是线段AB、AC的中点
∴AN=MB
在△AND和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠NAD=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△BMD，
∴DM=DN．

（2）如图2中，

由（1）可知，AD=BD，∠NAD=∠B，
在△AND和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠NAD=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△BMD，
∴DN=DM，∠ADN=∠BDM，
∵∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，
∴∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°，
∴△MDN是等腰直角三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．