Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为，又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，求此抛物线的解析式．

Answer 1

解：如图（1）
∵OC=，
又∵点C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C点坐标为（-1，-1）．
设二次函数解析式为y=a（x+1）²-1，
整理得y=ax²+2ax+a-1，
∵抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，
∴=-1，
∴a=．
∴二次函数解析式为y=（x+1）²-1．

如图（2）
∵OC=，
又∵点C在y=x上，
∴OD=DC=1，
∴C点坐标为（1，1）．
设二次函数解析式为y=a（x-1）²+1，
整理得y=ax²-2ax+a+1，
∵抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1，
∴=-1，
∴a=-．
∴二次函数解析式为y=-（x-1）²+1．
分析：根据顶点在直线y=x上且顶点到原点的距离为，求出顶点坐标，列出顶点式，然后化为一般式，即可根据抛物线与x轴两交点横坐标之积等于-1求出a的值．
点评：此题考查了用待定系数法求函数解析式，根据一次函数求出抛物线的顶点坐标，再利用顶点式和根与系数的关系解答是解题的关键．