Question

记第一个数为a₁，记第二个数为a₂，…，第n个数为a_n．若a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²…．
（1）根据你所发现的规律，用含n的式子表示a_n （n为大于0的自然数）；
（2）先化简a_n，并用文字语言表述你发现的结论；
（3）两个数1000、2010是否在a_n中？如在，请指出是第几个数．

Answer 1

解：（1）∵a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，
∴a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；

（2）a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n，
结论：第n个数a_n的值是n的8倍；

（3）∵1000÷8=125，
∴1000是第125个数．
∵2010÷8=，
∴2010是不在a_n中．
分析：（1）首先观察a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，a₃=7²-5²，即可求得a_n=（2n+1）²-（2n-1）²；
（2）利用平方差公式即可求得a_n=8n，即第n个数a_n的值是n的8倍；
（3）分别将1000、2010除以8，即可判定两个数1000、2010是否在a_n中．
点评：此题考查了数字的规律性问题，解题的关键是找到规律：a_n=（2n+1）²-（2n-1）²．