题目内容

如图，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，B（2，0），经过A、B、C三点的抛物线y= $数学公式$ x²-2x+k与y轴交于点A，与x轴的另一个交点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）⊙B是以点B为圆心，OB长为半径的圆，以点D为圆心的⊙D与直线BC相切，请你通过计算说明：⊙B与⊙D的位置关系；
（3）在直线AD下方的抛物线上是否存在一点P，使四边形APDC的面积最大？若存在，请你求出点P的坐标和四边形APDC面积的最大值；若不存在，请你说明理由．

解：（1）∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²-2x+k经过点B（2，0），
∴ $\text{[math]}$ ×4-2×2+k=0，k=3；
故抛物线的解析式：y= $\text{[math]}$ x²-2x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：A（0，3）、D（6，0）；
设⊙D与直线BC的切点为E，连接DE，则 DE⊥BE；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠BDE=90°-∠DBE，又∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△BED，有： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，r= $\text{[math]}$ ≈2.2；
∴2.2-2＜BD＜2.2+2，即r_D-r_B＜BD＜r_D+r_B
∴⊙B与⊙D的位置关系为相交．

（3）过点C作CF⊥x轴于点F，设点C（x， $\text{[math]}$ x²-2x+3），则 CF= $\text{[math]}$ x²-2x+3，BF=x-2；
同（2）可证得：Rt△AOB∽Rt△BFC，有：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
解得：x₁=2（舍）、x₂= $\text{[math]}$ ；
则C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），CF= $\text{[math]}$ ，DF=OF-OD= $\text{[math]}$ -6= $\text{[math]}$ ；
故S_△ADC=S_梯形AOFC-S_△AOD-S_△CDF
= $\text{[math]}$ ×（3+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×3×6- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ；
由A（0，3）、D（6，0）得，直线AD：y=- $\text{[math]}$ x+3；
过点P作PQ∥y轴，交直线AD于点Q；设点P（x， $\text{[math]}$ x²-2x+3），则Q（x，- $\text{[math]}$ x+3），PQ=（- $\text{[math]}$ x+3）-（ $\text{[math]}$ x²-2x+3）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；
则S_△APD= $\text{[math]}$ ×PQ×OD= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x）×6=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；
则S_{四边形APDC}=S_△ADC+S_△APD=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x-3）²+ $\text{[math]}$ ；
综上，当x=3，即 P（3，- $\text{[math]}$ ）时，四边形APDC的面积最大，且最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接将点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）此题的关键是求出点D的坐标（由此得到BD的距离）以及⊙D的半径，首先由抛物线的解析式求出点D的坐标，再连接圆心D与切点，通过构建的相似三角形来解．然后通过比较两圆的半径以及BD的长来得到两圆的位置关系．
（3）由于∠ABC是直角，过点C作x轴的垂线，通过构建的相似三角形可以求出点C的坐标表达式，再代入抛物线的解析式中可确定点C的坐标，然后通过图形间的面积和差关系求出△ADC的面积；若△APDC的面积最大，那么△APD的面积最大（因为△ADC的面积是定值），可先求出直线AD的解析式，然后过点D作y轴的平行线，交直线AD于Q，在表达出点P、Q的坐标后，可得到线段PQ的表达式，以PQ为底，点A、D横坐标的差的绝对值为高，可求出△APD的面积，由此可得四边形APDC的面积与点P的横坐标函数关系式，根据函数的性质可求出四边形APDC的最大面积以及此时点P的坐标．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定、相似三角形的应用、圆与圆的位置关系、图形面积的解法以及二次函数的应用等重点知识；在解题过程中要注意数形结合思想的合理应用．