Question

关于x的一元二次方程x²－（m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式为16.

（1）求m的值及该方程的根；

（2）设该方程的两个实数根为x₁,x₂,且x₁²＋x₂²=10，求m的值。

Answer 1

解：（1）关于x的一元二次方程x²－（m－1）x＋2m－1=0

的判别式△=（－（m－1））²－4（2m－1）

=m²－2m＋1－8m＋4，

=m²－10m＋5………………………………………………………2分

           又△=16，∴m²－10m＋5=16，即m²－10m－11=0…………………………3分

           解得m₁=－1，m₂=11………………………………………………………4分

           当m=－1时，原方程为x²＋2x－3=0，

解得x₁=1, x₂=－3………………………………………………………5分

当m=11时，原方程为x²－10x+21=0，解得：x₁=3,x₂=7……………6分

        （2）由根与系数的关系得x₁＋x₂= m－1，x₁x₂= 2m－1，………………………7分

             又x₁²＋x₂²=（x₁＋x₂）²－2 x₁x₂=（m－1）²－2（2m－1）

= m²－6m＋3……………………………8分

             ∵ x₁²＋x₂²=10，∴m²－6m＋3=10，即m²－6m－7=0

                解得：m₁=7，m₂=－1………………………………………………10分