Question

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．

（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；

（2）求证：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

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（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点， ∴EC=DF=×4=2， 由勾股定理得，DE==2， ∵点F是CD的中点，点N为DE的中点， ∴DN=DE=×2=， NF=EC=×2=1， ∴△DNF的周长=1++2=3+； 在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2， 所以，sin∠DAF===； （2）证明：在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE， ∵∠DAF+∠AFD=90°， ∴∠CDE+∠AFD=90°， ∴AF⊥DE， ∵点E、F分别是BC、CD的中点， ∴NF是△CDE的中位线， ∴DF=EC=2NF， ∵cos∠DAF==， cos∠CDE==， ∴=， ∴2AD•NF=DE•DM．