题目内容
已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC=x．（1）求证：AF=DM；
（2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；
（3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．
【答案】分析：（1）利用平行线分线段成比例的知识即可得出；
（2）易得
，故分别用含AD和x的代数式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代数式表达的AD；
（3）结合题意可知，需要分两种情况来解，一种是外切，另一种是内切；分别根据切线的性质，结合题目，列出方程即可得出x的值．
解答：（1）证明：∵BC∥AD，
∴
，
，（2分）
∵GH∥AD，
，（1分）
∴
，
∴AF=DM．（1分）
（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴
，（1分）
∵EC=x，
∴
，
∴
，（1分）
∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴
，（1分）
∴
，
∴
．（1分）
（3）解：∵EM⊥AC，设AD=a，
∴FD=a-2x，
，（1分）
FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
当⊙F与⊙M相外切时，FD+MO=FM；
，
解得
，（1分）
∵AD＞BC，即a＞6，
由
，得
，与已知不符，
∴
（舍）；（1分）
当⊙F与⊙M相内切时，|FD-MO|=FM，
①
，无解；（1分）
②
，
解，得
，
，
∵2x＜a，a＞6，
∴
．（2分）
综上所述，满足条件的x的值为
．
点评：本题主要考查了切线的性质以及平行线成比例的知识和解直角三角形等知识，并且要结合实际情况对题目分情况讨论和对解的值进行合理的取舍，本题具有一定的难度，请同学们多加分析和理解．
（2）易得
，故分别用含AD和x的代数式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代数式表达的AD；（3）结合题意可知，需要分两种情况来解，一种是外切，另一种是内切；分别根据切线的性质，结合题目，列出方程即可得出x的值．
解答：（1）证明：∵BC∥AD，
∴
，，（2分）∵GH∥AD，
，（1分）∴
，∴AF=DM．（1分）
（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴
，（1分）∵EC=x，
∴
，∴
，（1分）∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴
，（1分）∴
，∴
．（1分）（3）解：∵EM⊥AC，设AD=a，
∴FD=a-2x，
，（1分）FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
当⊙F与⊙M相外切时，FD+MO=FM；
，解得
，（1分）∵AD＞BC，即a＞6，
由
，得，与已知不符，∴
（舍）；（1分）当⊙F与⊙M相内切时，|FD-MO|=FM，
①
，无解；（1分）②
，解，得
，，∵2x＜a，a＞6，
∴
．（2分）综上所述，满足条件的x的值为
．点评：本题主要考查了切线的性质以及平行线成比例的知识和解直角三角形等知识，并且要结合实际情况对题目分情况讨论和对解的值进行合理的取舍，本题具有一定的难度，请同学们多加分析和理解．
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