Question

【题目】如图，为⊙的直径，分别切⊙于点交的延长线于点，的延长线交⊙于点于点.

⑴求证；

⑵若，求的长.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

试题分析：（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；

（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=6，OD⊥CE，则CE=10，利用勾股定理可计算出BE=8，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，所以OE=5，OC=3，然后证明△OEF∽△OCB，利用相似比可计算出EF的长．

试题解析（1）证明：∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，

∴OC平分∠BCE，即∠ECO=∠BCO，OB⊥BC，∴∠BCO+∠COB=90°，

∵EF⊥OG，∴∠FEB+∠FOE=90°，而∠COB=∠FOE，∴∠FEB=∠ECF；

（2）解：连接OD，如图，

∵CB，CD分别切⊙O于点B，D，∴CD=CB=6，OD⊥CE，∴CE=CD+DE=6+4=10，

在Rt△BCE中，BE==8，

设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，

在Rt△ODE中，r2+42=（8﹣r）2，解得r=3，

∴OE=8﹣3=5，

在Rt△OBC中，OC==3，

∵∠COB=∠FOE，∴△OEF∽△OCB，

∴，即，∴EF=2．