Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接EF，求

EF

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，证OD⊥AC即可．
（2）可通过△BEF∽△BCA，从而根据相似比求得EF：AC的值．

解答：（1）证明：连接OD，
∵∠C=90^o
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ODB+∠BDC=90^o
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径．
设⊙O的半径为r，
∵AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90^o
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

，即

15-r

15

=

r

9

．
∴r=

45

8

．
∴BE=

45

4

．
又∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

．

点评：本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，利用相似三角形得出线段间的比例关系进而求出线段的长是解题的关键．