Question

如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．
（1）设CP=x，BE=y，试写出y关于x的函数关系式；
（2）当点P在什么位置时，线段BE最长？

Answer 1

分析：（1）本题要求y与x之间的关系式，通过观察可以发现y、x分别是△BPE、△CDP的边，所以通过证明这两个三角形相似建立关系．
（2）运用函数性质求解．

解答：解：（1）∵∠EPB+∠DPC=90°，∠DPC+∠PDC=90°，
∴∠EPB=∠PDC
又∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CDP
所以有

BP

CD

=

BE

CP

．
即

12-x

8

=

y

x

故y关于x的函数关系式为y=-

1

8

x2+

3

2

x

（2）当x=-

b

2a

=6时，y有最大值，y最大=

4ac-b2

4a

=

9

2

即当点P距点C为6时，线段BE最长．

点评：寻求已知线段与所求线段之间的联系是关键，通常把它们划到两个图形中利用相似（包括全等）求解．运用二次函数性质求最值常用公式法或配方法．