题目内容

如图，已知对称轴为x=-

的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y=

x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A点坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出抛物线y=-

x²-x+6与y轴交点C的坐标为（0，6），将y=6代入，求出x的值，得到D点坐标及DC=3，再过点E作EG⊥y轴于点G，由EG∥DC，得到△OEG∽△ODC，根据相似三角形对应边成比例得出

，求出EG，OG的值，得出E点坐标，然后将E点坐标代入y=

x+m，即可求出m的值；
（3）分两种情况进行讨论：①OF为菱形的边时，延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．设点M₁的坐标为（a，

），则点N₁的坐标为（a，

a），在Rt△OG₁N₁中，运用勾股定理得出OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，列出关于a的方程，解方程即可，同理求出点N₂的坐标；②OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，根据菱形的性质可知M₃N₃与OF互相垂直平分，则OP=

OF=

，将y=

代入y=

，求出x的值，进而得到点N₃的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-

，经过点A（3，0），
∴

9a+3b+6=0

，解得

a=-

b=-1

，

∴抛物线解析式为y=-

x²-x+6；

（2）∵y=-

x²-x+6，
∴x=0时，y=6，即C点坐标为（0，6），
∴当y=6时，-

x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D点坐标为（-3，6），DC=3．
如图，过点E作EG⊥y轴于点G，则EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴

，
∴EG=

DC=1，OG=

OC=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
将E点坐标代入y=

x+m，
得2=-

+m，
解得m=

；

（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形．
分两种情况：
①如图，OF为菱形的边时，如果OF=FM₁=M₁N₁=N₁O=

，
延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．
∵点M₁在直线y=

上，
∴设点M₁的坐标为（a，

）（a＞0），则点N₁的坐标为（a，

a），
在Rt△OG₁N₁中，OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，
即：a²+（

a）²=（

）²，
整理得：a²=5，
∵a＞0，
∴a=

，
∴点N₁的坐标为（

，

）；
同理，求得点M₂的坐标为（-2，

）（a＞0），则点N₂的坐标为（-2，4）；

②如图，OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，则M₃N₃与OF互相垂直平分，
∴OP=

OF=

，
∴当y=

时，

，
解得：x=-

，
∴点M₃的坐标为（-

，

），
∴点N₃的坐标为（

，

）．
综上所述，x轴上方的点N有3个，分别为N₁（

，

），N₂（-2，4），N₃（

，

）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

练习册系列答案

如图，已知对称轴为x=- $数学公式$ 的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y= $数学公式$ x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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