已知如图①.在△ABC中.∠ABC.∠ACB的平分线交于点O.(1)若∠A=70°.则∠BOC=125°.试判断∠BOC与∠A存在的某种等量关系并证明,(2)如图②.在△ABC中.∠ABC.∠ACB的三等分线交于点O1.O2.则∠BO1C=$\frac{2}{3}×180°+\frac{1}{3}∠A.∠B{O 2}C=\frac{1}{3}×180°+\frac{2}{3}$∠A．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
（1）若∠A=70°，则∠BOC=125°，试判断∠BOC与∠A存在的某种等量关系并证明；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点O₁、O₂，则∠BO₁C=$\frac{2}{3}×180°+\frac{1}{3}∠A，∠B{O_2}C=\frac{1}{3}×180°+\frac{2}{3}$∠A．
根据以上信息解决下列问题：
①试找出它们的规律（n等分时，内部有n-1个点），n等分时∠BO₁C=$\frac{n-1}{n}$×180°+$\frac{1}{n}$∠A，∠BO_n-1C=$\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$．（用含n的式子表示），
②根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO₃C表达式仍然成立．

分析（1）根据角平分线的性质得到$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，根据三角形的内角和列式化简即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和，角的和差和倍分关系即可得到结论；
②根据三角形的内角和，角的和差和倍分关系即可得到结论．

解答解：（1）∠BOC=125°，$∠BOC=90°+\frac{1}{2}∠A$．
证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，
∴$∠OBC=\frac{1}{2}∠ABC，∠OCB=\frac{1}{2}∠ACB$，
在△BOC中，$∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-\frac{1}{2}（∠ABC+∠ACB）$=$180°-\frac{1}{2}（180°-∠A）=180°-90°+\frac{1}{2}∠A$=$90°+\frac{1}{2}∠A$；
故答案为：125°；

（2）①$∠B{O_1}C=\frac{n-1}{n}×180°+\frac{1}{n}∠A，∠B{O_{n-1}}C=\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$，
故答案为：$\frac{n-1}{n}$×180°+$\frac{1}{n}$∠A，$\frac{1}{n}×180°+\frac{n-1}{n}×∠A$；
②证明：当n=4时，$∠B{O_3}C=180°-（∠{O_3}BC+∠{O_3}CB）=180°-\frac{3}{4}（∠ABC+∠ACB）$
=$180°-\frac{3}{4}（180°-∠A）=180°-\frac{3}{4}×180°+\frac{3}{4}∠A$=$\frac{1}{4}×180°+\frac{3}{4}∠A$．
故表达式仍然成立．

点评本题考查了三角形的内角和，角平分线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．