Question

已知⊙O经过△ABC的三个顶点，AB=AC，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为5，求腰长AB．

Answer 1

解：当点O在△ABC内部时，如图1，作OD⊥BC于D，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴A、D、O三点共线，
在Rt△ODB中，OB=5，OD=3，
∴BD==4，
在Rt△ADB中，AD=AO+OD=5+3=8，
∴AB===4；
当点O在△ABC外部时，如图2，作OD⊥BC于D，
同理可得A、D、O三点共线，BD=4，
在Rt△ADB中，AD=AO-OD=5-3=2，
∴AB===2，

∴腰长AB为2或4．
分析：分类讨论：当点O在△ABC内部时，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得到BD=CD，则AD垂直平分BC，根据等呀哦三角形的性质得到A、D、O三点共线，再利用勾股定理计算出BD=4，然后在Rt△ADB中利用勾股定理计算出AB；当点O在△ABC外部时，作OD⊥BC于D同理可得A、D、O三点共线，BD=4，然后在Rt△ADB中利用勾股定理计算AB．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．