Question

如图13，14,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD(或延长线)于E，作PF⊥DC(或延长线)于F，作射线BP交EF于G.

（1）在图13中,设正方形ABCD的边长为2, 四边形ABFE的面积为y, AP=，求y关于的函数表达式．

（2）结论GB⊥EF对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明；

（3）请根据图14证明：△FGC∽△PFB．

              图13                                    图14

Answer 1

解：（1）∵EPAD，PFDC，∴四边形EPFD是矩形，

∵AP=，

∴AE=EP=DF=，

，                                

∴ 

        

                                 

（2）在图13中证明GB⊥EF．

①证法一：延长FP交AB于H，

∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB,

即∠BHP=90°     

∴在Rt△FPE与Rt△BHP中

因 ABCD是正方形，

∴易知PF=FC=HB，EP=PH

∴Rt△FPE≌Rt△BHP

∴∠PFE=∠PBH，

又∠FPG=∠BPH，

∴△FPG∽ △BPH，

∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF              

分析: 要GB⊥EF,只要∠5 +∠3=90°,而∠5 +∠4=90°,只要证∠3=∠4,

而∠2 =∠3, ,只要证∠4=∠2,而∠4=∠1,故只要∠1=∠2.

证法二: 如答案图13-2,连接PD,延长FP交AB于H，

延长EP交BC于M，

易知DC=BC, ∠DCP=∠BCP=45°,PC=PC,

∴△DPC≌△BPC

∴∠DPC=∠BPC,即∠1+45°=45°+∠2,

∴∠1=∠2,

而∠1=∠4, ∠2 =∠3,

∴∠3=∠4,

而∠5 +∠4=90°,∴∠5 +∠3=90°,

∴∠PGE=180°-(∠5 +∠3)=90°,

即GB⊥EF.

注:在图14中证法与上面类似.

（3）证法一：

∵GB⊥EF，∴…①…

连接PD，在△DPC和△BPC中

∵DC=BC, ∠DCP=∠BCP=135°,PC=PC,

∴ △DPC≌△BPC，∴PD=PB．                 

而PD=EF, ∴EF=PB．                                                             

又∵GB⊥EF，∴

∴

而PF=FC, ∴                 

∴………②

∴由①②得△FGC∽△PFB．                                      

证法二:

∵GB⊥EF，∴………①                       

又∵

取BF的中点M,则有:

∴B,C,G,F四点在以M为圆心,MB为半径的圆上.       

∴………②

∴由①②得△FGC∽△PFB．