Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．

（1）求证：∠BEF=∠AB′B；

（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，

∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，

∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，

∴∠ABB′+∠BEF=90°，

∵∠ABB′+∠AB′B=90°，

∴∠BEF=∠AB′B；

（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点E，

∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，

∴在RT△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣AE）²=AE²+x²

解得AE=，

tan∠AB′B==，tan∠BEF==，

∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，

∴=，

化简，得y=x²﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）

②当点F在点C下方时，如图2所示．

设直线EF与BC交于点K

设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．

BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．

∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．

在Rt△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣BE）²+x²=BE²

解得BE=．

∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x²+x﹣3

∴y=﹣x²+x﹣3（8﹣2＜x≤6）

综上所述，

y=．