Question

如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂B₂C₂，作出了第二个正三角形△A₂B₂C₂，算出第2个正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出第3个正△A₃B₃C₃的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A_nB_nC_n的面积是　　．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：过A₁作A₁D⊥B₁C₁于D，

∵等边三角形A₁B₁C₁，

∴B₁D=，

由勾股定理得：A₁D=，

∴△A₁B₁C₁的面积是×1×=，

∵C₂、B₂、A₂分别是A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁的中点，

∴B₂C₂=B₁C₁，A₂B₂=A₁B₁，A₂C₂=A₁C₁，

即===，

∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁，且面积比是1：4，=

同理△A₃B₃C₃∽△A₂B₂C₂，且面积比是1：4，=

…

∴==×=

故答案为：．

考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结果得出规律=，题目比较典型，但有一定的难度．